Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形AOCB的頂點(diǎn)O、A的坐標(biāo)分別是（0，0）、（0，a），且滿足． 點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)， M，N垂直平分OD，分別交AB，OD，OC于點(diǎn)M，E，N，連接OM，DN．

（1）填空：a = ；

（2）求證：四邊形MOND是菱形；

（3）若F為OA的中點(diǎn)，連接EF，且滿足EF+OE=9，求四邊形MOND的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）詳見解析；（3）C菱形MOND=25，S菱形MOND=

【解析】

（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)矩形AOCB的性質(zhì)以及判定四邊形MOND是平行四邊形，再由菱形的判定求證即可；

（3）根據(jù)的中位線及矩形AOCB的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，設(shè)AD=x，

利用勾股定理求出x的值，再根據(jù)菱形MOND的性質(zhì)，設(shè)，，利用勾股定理求出y，最后根據(jù)菱形的周長(zhǎng)及面積求法進(jìn)行求解即可.

（1）∵

∴，

∴

∴；

（2）證明：∵MN垂直平分OD

∴OM=DM，DE=OE，

∵四邊形AOCB是矩形

∴AB∥OC

∴

在和中

∴

∴ME=NE

又∵DE=OE

∴四邊形MOND是平行四邊形

又∵OM=DM

∴四邊形MOND是菱形；

（3）由（1）得OA=6

由（2）得DE=OE

又∵F為OA的中點(diǎn)

∴EF是的中位線，

∴

又∵EF+OE=9，DE=OE

∴

∴AD+OD =18

∵四邊形AOCB是矩形

∴

在中

設(shè)AD=x，則

根據(jù)勾股定理，，解得x=8

∴AD=8，OD =10

由（2）得，四邊形MOND是菱形

∴OM=MD=DN=ON

設(shè)，則

在中，根據(jù)勾股定理

，解得

∴

∴，.