Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點(diǎn)，以DB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF．

（1）求證：∠1=∠F；

（2）若sinB=，EF=，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點(diǎn)，得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠B等量代換即可得到結(jié)論；

（2）g根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=EF=，推出AB=2AE=，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到BC=8，設(shè)CD=x，則AD=BD=8﹣x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）證明：連接DE，∵BD是⊙O的直徑，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=，∴AB=2AE=，在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4，∴BC==8，設(shè)CD=x，則AD=BD=8﹣x，∵，即，∴x=3，即CD=3．