Question

已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對角線BD上一點(diǎn)，則PM＋PN的最小值＝________．

Answer 1

答案：5
解析：

分析：作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP＋NP的值最小，連接AC，求出OC、OB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP＋NP＝QN＝BC，即可得出答案． 　　解答：解： 　　作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP＋NP的值最小，連接AC， 　　∵四邊形ABCD是菱形， 　　∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP， 　　即Q在AB上， 　　∵M(jìn)Q⊥BD， 　　∴AC∥MQ， 　　∵M(jìn)為BC中點(diǎn)， 　　∴Q為AB中點(diǎn)， 　　∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形， 　　∴BQ∥CD，BQ＝CN， 　　∴四邊形BQNC是平行四邊形， 　　∴NQ＝BC， 　　∵四邊形ABCD是菱形， 　　∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4， 　　在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝5， 　　即NQ＝5， 　　∴MP＋NP＝QP＋NP＝QN＝5， 　　故答案為：5． 　　點(diǎn)評：本題考查了軸對稱－最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置．

提示：

軸對稱－最短路線問題；菱形的性質(zhì)．