Question

【題目】學(xué)之道在于悟．希望同學(xué)們?cè)趩栴}（1）解決過程中有所悟，再繼續(xù)探索研究問題（2）．
（1）如圖①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC． ①求證：△ADE為等腰三角形．
②若∠B=60°，求證：△ADE為等邊三角形．

（2）如圖②，射線AM與BN，MA⊥AB，NB⊥AB，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，在射線AM與BN上分別作點(diǎn)C、點(diǎn) D 滿足：△CPD為等腰直角三角形．（要求：利用直尺與圓規(guī)，不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】
（1）解：①證明：∵∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，

∴△ABD≌DCE，

∴AB=DC，

∴△ADE為等腰三角形；

②∵△ABD≌△DCE，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，

又∵∠BAD=∠CDE．

∴∠ADE=∠B=60°，

∴等腰△ADE為等邊三角形．

（2）解：有三種結(jié)果，如圖所示：

【解析】（1）①先根據(jù)∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，進(jìn)而得到△ADE為等腰三角形；②根據(jù)△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根據(jù)∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE為等邊三角形；（2）分三種情況討論：∠CPD為直角頂點(diǎn)；∠PCD是直角頂點(diǎn)；∠PDC是直角頂點(diǎn)，分別進(jìn)行畫圖即可．第一種情況：使得AP=BD，BP=AC；第二種情況：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三種情況：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．