Question

【題目】已知k為非負(fù)實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0和kx2﹣（k+2）x+k＝0．

（1）試證：前一個(gè)方程必有兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)k取何值時(shí)，上述兩個(gè)方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)k＝2或0或時(shí)，述兩個(gè)方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．

【解析】

（1）先根據(jù)根的判別式求解，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）先求出第一個(gè)方程的兩個(gè)根，再分類求出即可．

（1）證明：x2﹣（k+1）x+k＝0，

△＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

即方程關(guān)于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

設(shè)方程的兩根為x1，x2，

則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝k+1，x1x2＝k，

∵k為非負(fù)實(shí)數(shù)，

∴x1+x2＝k+1＞0，x1x2＝k≥0，

∵由x1x2＝k≥0得出方程有同號(hào)兩個(gè)根或有一個(gè)根為0；

∴由x1+x2＝k+1＞0，x1x2＝k≥0得出方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根或有一個(gè)根為0，

所以方程x2﹣（k+1）x+k＝0必有兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)根；

（2）x2﹣（k+1）x+k＝0，

△＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

方程的根為，

即方程的根為k和1；

當(dāng)相同的根是k時(shí)，把x＝k代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k3﹣（k+2）k+k＝0，

解得：k＝0或k＝或k＝，

∵k為非負(fù)實(shí)數(shù)，

∴k＝舍去；

當(dāng)相同的根是1時(shí)，把x＝1代入方程kx2﹣（k+2）x+k＝0得：k﹣（k+2）+k＝0，

解得：k＝2；

所以當(dāng)k＝2或0或時(shí)，上述兩個(gè)方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．