Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE＝2，將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，則DF的最小值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

以ED為邊作等邊△DEG，連接AD，EF，AG，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AD=3，由等邊三角形的性質(zhì)可證△AEG≌△FED，可得DF=AG，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)G，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，AG值最小，即DF值最小，則可求線段DF的最小值．

如圖，以ED為邊作等邊△DEG，連接AD，EF，AG，

∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∴AD= =3，
∵將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AF，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵△DEG是等邊三角形，
∴DE=EG=2，∠GED=60°=∠AEF，
∴∠AEG=∠FED，且AE=EF，EG=DE，
∴△AEG≌△FED（SAS），
∴DF=AG，
∵在△ADG中，AG≥AD-DG，
∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)G，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，AG值最小，即DF值最小，
∴DF最小值=AD-DG=3-2．
故答案為：3-2．