Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C，對稱軸為直線x=

1

2

，OA=2，OD平分∠BOC交拋物線于點D（點D在第一象限）．
（1）求拋物線的解析式和點D的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BPD的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）點M是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點N，使A、D、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的M點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵OA=2
∴A（-2，0）
∵A與B關于直線x=

1

2

對稱
∴B（3，0），
由于A、B，兩點在拋物線上，
∴

-2-2b+c=0 - 9 2 +3b+C=0

；
解得

b= 1 2 c=3

；
∴y=-

1

2

x2+

1

2

x+3
過D作DE⊥x軸于E
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE
即x_D=y_D，
∴x=-

1

2

x2+

1

2

x+3，
解得x₁=2，x₂=-3（舍去）
∴D（2，2）；（4分）

（2）存在
∵BD為定值，
∴要使△BPD的周長最小，只需PD+PB最小
∵A與B關于直線x=

1

2

對稱，
∴PB=PA，只需PD+PA最小
∴連接AD，交對稱軸于點P，此時PD+PA最小，（2分）
由A（-2，0），D（2，2）可得
直線AD：y=

1

2

x+1（1分）
令x=

1

2

，y=

5

4

∴存在點P(

1

2

，

5

4

)，使△BPD的周長最小（1分）

（3）存在．
（i）當AD為平行四邊形AMDN的對角線時，MD∥AN，即MD∥x軸
∴y_M=y_D，
∴M與D關于直線x=

1

2

對稱，
∴M（-1，2）（1分）
（ii）當AD為平行四邊形ADNM的邊時，
∵平行四邊形ADNM是中心對稱圖形，△AND≌△ANM
∴|y_M|=|y_D|，
即y_M=-y_D=-2，
∴令-

1

2

x2+

1

2

x+3=-2，即x²-x-10=0；
解得x1，2=

1± 41

2

，M(

1+ 41

2

，-2)或M(

1- 41

2

，-2)，（2分）
綜上所述：滿足條件的M點有三個M（-1，2），M(

1+ 41

2

，-2)或M(

1- 41

2

，-2）．（1分）