Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（﹣2，0）和點C（0，﹣8）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當(dāng)△KCM的周長最小時，點K的坐標(biāo)為　  　；

（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動，當(dāng)P、Q兩點相遇時，它們都停止運(yùn)動，設(shè)P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．

①請問P、Q兩點在運(yùn)動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S₀的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（﹣2，0），

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x﹣6）。

∵圖象過點（0，﹣8），∴﹣8=a（0+2）（0﹣6），解得a=。

∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+2）（x﹣6），即。

（2）∵，∴點M的坐標(biāo)為（2，）。

∵點C的坐標(biāo)為（0，﹣8），∴點C關(guān)于x軸對稱的點C′的坐標(biāo)為（0，8）。

∴直線C′M的解析式為：y=x+8。

令y=0得x+8=0，解得：x=。

∴點K的坐標(biāo)為（，0）。

（3）①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，此時，1＜t＜2。

∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC。

∴。

∵AP=6﹣3t，AQ=18﹣8t，∴，解得t=。

∵t=＞2不滿足1＜t＜2，∴不存在PQ∥OC。

②分三種情況討論如下，

情況1：當(dāng)0≤t≤1時，如圖1，

S=OP•OQ=×3t×8t=12t²。

情況2：當(dāng)1＜t≤2時，如圖2，

作QE⊥OA，垂足為E，

S=OP•EQ=×3t×。

情況3：當(dāng)2＜t＜時，如圖3，

作OF⊥AC，垂足為F，則OF=。

S=QP•OF=×（24﹣11t）×。

綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式

。

③。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知的與x軸的兩個交點坐標(biāo)和經(jīng)過的一點利用交點式求二次函數(shù)的解析式即可。

（2）根據(jù)（1）求得的函數(shù)的解析式確定頂點坐標(biāo)，然后求得點C關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點坐標(biāo)即可：

（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t。

②本題要分三種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)E在OC上，D在OA上，即當(dāng)0≤t≤1時，此時S=OE•OD，由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；

當(dāng)E在CA上，D在OA上，即當(dāng)1＜t≤2時，此時S=OD×E點的縱坐標(biāo)．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；

當(dāng)E，D都在CA上時，即當(dāng)2＜t＜相遇時用的時間，此時S=S_△AOE﹣S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；

綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達(dá)式。

③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值．

當(dāng)0≤t≤1時，S=12t²，函數(shù)的最大值是12；

當(dāng)1＜t≤2時，S，函數(shù)的最大值是；

當(dāng)2＜t＜，S=QP•OF，函數(shù)的最大值不超過。

∴。