Question

（2013•鄂州）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE為⊙O的切線．
（2）求證：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

分析：（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）證△ABD∽△CAD，推出

AB

AC

=

BD

AD

，證△FAD∽△FDB，推出

BD

AD

=

BF

DF

，即可得出AB：AC=BF：DF．

解答：證明：（1）連結(jié)DO、DA，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠CDA=∠BDA=90°，
∵CE=EA，
∴DE=EA，
∴∠1=∠4，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠EDO=90°，
∵OD是半徑，
∴DE為⊙O的切線；
           
（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠DBA，
∵∠CDA=∠BDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴

AB

AC

=

BD

AD

，
∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，
又∵OD=OB，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠3=∠FDB，
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDB，
∴

BD

AD

=

BF

DF

，
∴

AB

AC

=

BF

DF

，
即AB：AC=BF：DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．