Question

【題目】有一張等腰三角形紙片，AB=AC=5，BC=3，小明將它沿虛線PQ剪開，得到△AQP和四邊形BCPQ兩張紙片（如圖所示），且滿足∠BQP=∠B，則下列五個數(shù)據(jù) ，3， ，2， 中可以作為線段AQ長的有個．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：作CD∥PQ，交AB于D，如圖所示： 則∠CDB=∠BQP，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∵∠BQP=∠B，
∴∠B=∠ACB=∠CDB，
∴CD=BC=3，△BCD∽△BAC，
∴ ，即 ，
解得：BD= ，
∴AD=AB﹣BD= ，
∵CD∥PQ，
∴△APQ∽△ACD，
∴ ，即 ，
解得：AP= AQ，
當AQ= 時，AP= × = ＞5，不合題意，舍去；
當AQ=3時，AP= ×3= ＜5，符合題意；
當AQ= 時，點P與C重合，不合題意，舍去；
當AQ=2時，AP= ×2= ＜5，符合題意；
當AQ= 時，AP= × = ＜5，符合題意；
綜上所述：可以作為線段AQ長的有3個；
所以答案是：3．

【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．