Question

【題目】如圖1，菱形紙片ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使點B，D兩點重合于對角線BD上一點P，EF，GH分別是折痕（如圖2）．設AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：

①當x=1時，點P是菱形ABCD的中心；②當x= 時，EF+GH＞AC；③當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是 ；④當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變．其中正確結(jié)論是________．（填序號）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

先確定出△ABC是等邊三角形，進而判斷出△BEF是等邊三角形，當x=1時，求出，即可判斷出①正確，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x賦予的值，即可求出EF，GH，判斷出②錯誤，利用菱形的面積減去兩個三角形的面積判斷出③錯誤，利用周長的計算方法即可判定出④正確．

∵菱形ABCD的邊長為2，

∴AB=BC=2，

∵

∴

由折疊知，△BEF是等邊三角形，

當x=1時，則AE=1，

∴BE=ABAE=1，

由折疊知,

∴點P是菱形ABCD的對角線的交點，

即：點P是菱形ABCD的中心，所以①正確，

如圖，

∵AE=x，

∴BE=ABAE=2x，

∵△BEF是等邊三角形，

∴EF=BE=2x，

∴

∴

∴

∴

∴

當時,

∴

∵△BEF是等邊三角形，

∴

∴

∴

∴EF+GH=2=AC，所以②錯誤；

當0<x<2時，

∵AE=x，

∴BE=2x，

∴EF=2x，

∴

∴

∴

∴六邊形AEFCHG面積=S菱形ABCDS△BEFS△DGH

∴當x=1時,六邊形AEFCHG面積最大為，所以③錯誤，

六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=x+2x+x+2x+x+2x=6是定值，

所以④正確，即：正確的有①④，

故答案為:①④.