Question

如圖所示，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推
（1）填寫下表：

層次	1	2	3	4	5	6
該層對應的點數
所有層的總點數

（2）寫出第n層所對應的點數；
（3）寫出六邊形的點陣共有n層時的總點數；
（4）如果六邊形的點陣共有n層時的總點數為397，你知道共有多少層嗎？

Answer 1

分析：根據六邊形有六條邊，則第一層有1個點，第二層有2×6-6=6（個）點，第三層有3×6-6=12（個）點，推而廣之即可求解．然后根據得到的通項公式求出相應題目的解即可．

解答：解：第一層上的點數為1；
第二層上的點數為6=1×6；
第三層上的點數為6+6=2×6；
第四層上的點數為6+6+6=3×6；
…
第n層上的點數為（n-1）×6．
所以n層六邊形點陣的總點數為
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
=1+6×

n(n-1)

2

=1+3n（n-1）
（1）填表如下：

層次	1	2	3	4	5	6
該層對應的點數	1	6	12	18	24	30
所有層的總點數	1	7	19	37	61	91

（2）根據分析可得第n層的點數之和為6（n-1）；
（3）根據分析可得共有n層時的點數之和為1+3n（n-1）；
（4）根據題意得：
1+3n（n-1）=397．
n（n-1）=132；
（n-12）（n+11）=0
n=12或-11．
故n=12，
答：共有12層．

點評：本題考查了圖形的變化類問題，主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．