Question

【題目】已知：如圖1，△OAB是邊長為2的等邊三角形，OA在x軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)；△OCA是一個(gè)等腰三角形，OC＝AC，頂點(diǎn)C在第四象限，∠C＝120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．

（1）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的△OPQ面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）在OA上（點(diǎn)O、A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，現(xiàn)有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發(fā)生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（），（）

（2）或

（3）4

【解析】

（1）由于點(diǎn)Q從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C需要秒，點(diǎn)P從點(diǎn)A→O→B需要秒，所以分兩種情況討論：①0＜t＜；②≤t＜．針對每一種情況，根據(jù)P點(diǎn)所在的位置，由三角形的面積公式得出△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并且得出自變量t的取值范圍

（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上兩種情形．每一種情形，都有可能O為頂點(diǎn)，C為頂點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，分別討論，得出結(jié)果；

（3）如果延長BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周長=BA+BO=4．