Question

【題目】設a，b是任意兩個不等實數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足當m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由．

（2）若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）當k＞0時，函數(shù)的解析式為y=x；當k＜0時，函數(shù)的解析式為y=﹣x+m+n．

【解析】

（1）根據(jù)“閉函數(shù)”的定義驗證反比例函數(shù)y=的函數(shù)值y是否滿足1≤y≤2019即可；

（2）分兩種情況：當時和當時，分別用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可．

（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”，

理由：∵當x=1時，y=2019，當x=2019時，y=1，

∴反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”；

（2）∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，

∴當k＞0時，根據(jù)題意有

解得 ，

即此函數(shù)的解析式為y=x；

當k＜0時，根據(jù)題意有

解得 ，

即此函數(shù)的解析式為y=﹣x+m+n．