Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，1），過(guò)A作線段AB∥y軸（B在A下方），以AB為邊向右作正方形ABCD．設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為m，二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax的圖象的頂點(diǎn)為E．

（1）AB＝　 　．（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)A恰好在二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax的圖象上時(shí)，求二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax的關(guān)系式．

（3）當(dāng)點(diǎn)E恰為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（4）若a＝m+1，當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax的圖象恰與正方形ABCD有三個(gè)交點(diǎn)且二次函數(shù)頂點(diǎn)E不位于直線BC下方時(shí)，直接寫(xiě)出m的值．

Answer 1

【答案】（1）1﹣m；（2）；（3）；（4）m的值為﹣或﹣或﹣．

【解析】

（1）由AB∥y軸可知點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)相等，且B在A下方，所以點(diǎn)A縱坐標(biāo)減去點(diǎn)B縱坐標(biāo)即為AB的長(zhǎng)．

（2）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式，解方程求得a即可．

（3）根據(jù)正方形四邊相等可用m表示點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而用m表示BC中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；把二次函數(shù)關(guān)系式配方即得到頂點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，列得關(guān)于m的方程．求得m的值即求得點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)關(guān)系式．

（4）由a＝m+1和二次函數(shù)頂點(diǎn)E不位于直線BC下方兩個(gè)條件求出m的取值范圍即a的取值范圍．畫(huà)出草圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a＞0時(shí)，只有當(dāng)頂點(diǎn)E在線段BC上時(shí)可能與正方形ABCD有三個(gè)交點(diǎn)，求出此時(shí)m、a的值，求出當(dāng)x＝1和x＝2﹣m時(shí)拋物線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)落在線段AB、CD上，所以成立．當(dāng)a＜0時(shí)，有兩種情況，頂點(diǎn)E在線段AD上或點(diǎn)A在拋物線上，分別求出m、a的值，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明成立．

解：（1）∵yA＝1，yB＝m，AB∥y軸且點(diǎn)B在點(diǎn)A下方

∴AB＝yA﹣yB＝1﹣m

故答案為：1﹣m．

（2）∵點(diǎn)A（1，1）在二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax的圖象上

∴a﹣4a＝1

∴a＝

∴二次函數(shù)的關(guān)系式y＝x2+x

（3）∵y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a

∴二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)E（2，﹣4a）

∵正方形ABCD中，A（1，1），yB＝m，AB∥y軸

∴B（1，m），BC＝CD＝DA＝AB＝1﹣m

∴C（2﹣m，m），D（2﹣m，1）

∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)

∴xE＝

∴＝2

解得：m＝﹣1

∴D（3，1）

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)的關(guān)系式為y＝

（4）∵點(diǎn)E（2，﹣4a）不位于直線BC下方

∴﹣4a≥m

∵a＝m+1

∴﹣4（m+1）≥m

解得：m≤

①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，只有當(dāng)頂點(diǎn)E在線段BC上時(shí)可能與正方形ABCD有三個(gè)交點(diǎn)（如圖1）

若m＝即a＝

∴y＝x2x，B（1，），C（，）

∵x＝1時(shí)，y＝；x＝時(shí)，y＝，

∴拋物線與線段AB、CD有交點(diǎn)，即與正方形ABCD共有3個(gè)交點(diǎn)

∴m＝成立

②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，xD＝2﹣m＞3，所以點(diǎn)A比點(diǎn)D理拋物線對(duì)稱(chēng)軸直線x＝2近

如圖2，若頂點(diǎn)E在線段AD上，則a＝，m＝，

∴y＝x2+x，A（1，1），D（，1）

∵x＝1時(shí)，y＝+1＝＜1；x＝時(shí)，y＝，

∴拋物線與線段AB、CD有交點(diǎn)，即與正方形ABCD共有3個(gè)交點(diǎn)

∴m＝成立

如圖3，若拋物線過(guò)點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)落在線段AD上

∴拋物線與正方形ABCD共有3個(gè)交點(diǎn)

∴a＝即m＝，

綜上所述，點(diǎn)m的值為或或．