Question

【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

（1）請(qǐng)按要求畫圖：將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′；

（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B=　 　．

【問題解決】

如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=7，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．

小明同學(xué)通過觀察、分析、思考，對(duì)上述問題形成了如下想法：

想法一：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；

想法二：將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．

…

請(qǐng)參考小明同學(xué)的想法，完成該問題的解答過程．（一種方法即可）

【靈活運(yùn)用】

如圖③，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】【操作發(fā)現(xiàn)】（1）作圖見解析；（2）45°；【問題解決】7；【靈活運(yùn)用】．

【解析】試題分析：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可；（2）只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可；【問題解決】如圖②，將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，只要證明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解決問題；【靈活運(yùn)用】如圖③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，只要證明∠GDC=90°，可得CG= ，由此即可解決問題．

試題解析：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖所示，△AB′C′即為所求；

（2）連接BB′，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，

∴AB=AB′，∠B′AB=90°，

∴∠AB′B=45°，

故答案為：45°；

【問題解決】如圖②，

∵將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，

∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，

∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，

∴PP′=PC，即AP=PC，

∵∠APC=90°，

∴AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=72，

∴PC=2，

∴AP=，

∴S△APC=APPC=7；

【靈活運(yùn)用】如圖③中，∵AE⊥BC，BE=EC，

∴AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=kAB，

∴DG=kBC=4k，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG== ．

∴BD=CG=．