Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且AD=DC，過A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，連結(jié)DE．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）⊙O的直徑為．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，則∠1=∠B，根據(jù)圓周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定義得sinC==，則設(shè)DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后證明△ADE∽△DFC，再利用相似比可計算AE即可．

試題解析：（1）∵AB=AC，AD=DC，

∴∠C=∠B，∠1=∠C，

∴∠1=∠B，

又∵∠E=∠B，

∴∠1=∠E，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠E+∠EAD=90°，

∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，

∴AE⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖，

∵DA=DC，

∴CF=AC=3，

在Rt△CDF中，∵sinC==，

設(shè)DF=4x，DC=5x，

∴CF==3x，

∴3x=3，解得x=1，

∴DC=5，

∴AD=5，

∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，

∴△ADE∽△DFC，

∴，即，解得AE=，

即⊙O的直徑為．