Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC延長線上，連接AD，過B作BE⊥AD，垂足為E，交AC于點F，連接CE．

（1）求證：CF=CD；
（2）求證：DADE=DBDC；
（3）探究線段AE，BE，CE之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE⊥AD，∠ACB=90°，

∴∠CBF=∠CAD=90°﹣∠D，

在△BCF和△ACD中， ，

∴△BCF≌△ACD，

∴CF=CD；

（2）證明：∵∠FBC=∠CAD，∠D=∠D，

∴△BED∽△ACD，

∴BD：AD=ED：CD，

∴DADE=DBDC；

（3）BE=AE+ CE，

證明：作CG⊥CE交BE于G，

∵∠BEC=45°，

則∠CGE=45°=∠BEC，CG=CE，

∴∠BGC=135°=∠AEC，EG= CE

在△BCG和△ACE中， ，

∴△BCG≌△ACE，

∴BG=AE，

∴BE=BG+EG=AE+ CE．

【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠CBF=∠CAD，由對應邊對應角相等，得到△BCF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對應邊CF=CD；（2）根據(jù)兩角相等得到△BED∽△ACD，得到比例，得到結(jié)論DADE=DBDC；（3）根據(jù)對應邊對應角相等，得到△BCG≌△ACE，得到對應邊BG=AE，得出結(jié)論BE=BG+EG=AE+CE．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．