(2007•煙臺(tái))如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與A、D不重合),G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn).
(1)試探索四邊形EGFH的形狀,并說明理由;
(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形EGFH是菱形?并加以證明;
(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形,請(qǐng)?zhí)剿骶段EF與線段BC的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(1)由已知得GF∥EH,GF=EH.根據(jù)有一組邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形EGFH是平行四邊形.
(2)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及已知利用SAS判定△AABE≌△DCE,從而得到BE=CE,根據(jù)G、H分別是BE、CE的中點(diǎn),得到EG=EH,所以有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EG=EH,∠BEC=90°,由已知可得到EB=EC,因?yàn)镕是BC的中點(diǎn),所以EF⊥BC,EF=BC.
解答:解:(1)四邊形EGFH是平行四邊形.
理由是:∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn),
∴GF∥EH,GF=EH
∴四邊形EGFH是平行四邊形.

(2)當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí),四邊形EGFH是菱形.
證明:∵四邊形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC,∠A=∠D,
在△ABE與△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE(SAS),
∴BE=CE
∵G、H分別是BE、CE的中點(diǎn),
∴EG=EH
又∵由(1)知四邊形EGFH是平行四邊形,
∴四邊形EGFH是菱形.

(3)EF⊥BC,EF=BC
證明:∵四邊形EGFH是正方形,
∴EG=EH,∠BEC=90°
∵G、H分別是BE、CE的中點(diǎn),
∴根據(jù)中位線定理知道EB=EC,
∵F是BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),
∴△BEC為等腰直角三角形,
∴EF⊥BC,EF=BC.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的性質(zhì),平行四邊形的判定,菱形的判定,及正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.
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(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)M為(1)中拋物線的頂點(diǎn),求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(3)試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)M為(1)中拋物線的頂點(diǎn),求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(3)試說明直線MC與⊙P的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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