Question

如圖，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)D在拋物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線平分四邊形OBDC的面積，求k的值.
（3）把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）存在一點(diǎn)P（0，2），使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

解：（1）∵拋物線關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。
∴可設(shè)拋物線的解析式為。
∵點(diǎn)D在拋物線上，∴，解得。
∴拋物線的解析式為，即。

（2）由（1）知，令x=0，得C(0, )，
∴CD//AB。
令，得l與CD的交點(diǎn)F()，
令，得l與x軸的交點(diǎn)E()，
由S_{四邊形OEFC}=S_{四邊形EBDF}得：OE+CF=DF+BE，
即：，解得。
∴當(dāng)時(shí)，直線平分四邊形OBDC的面積。

（3）∵，
∴把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為。
假設(shè)在y軸上存在一點(diǎn)P(0，t)，t＞0，使直線PM與PN關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，
∵∠MPO=∠NPO，∴Rt△MPM₁∽R(shí)t△NPN₁。
∴    ①。
不妨設(shè)M(x_M,y_M)在點(diǎn)N(x_N,y_N)的左側(cè)，
因?yàn)镻點(diǎn)在y軸正半軸上，則①式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823025837741783.png" style="vertical-align:middle;" />。
又∵，
∴    ②。
把代入中，整理得。
∴，代入②得，解得t=2，符合條件。
∴在y軸上存在一點(diǎn)P（0，2），使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。
（1）由已知求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出交點(diǎn)式，將點(diǎn)D 的坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式。
（2）如圖，將S_{四邊形OEFC}和S_{四邊形EBDF}用k表示，根據(jù)S_{四邊形OEFC}=S_{四邊形EBDF}列方程求解即可。
（3）求出平移后的拋物線解析式，假設(shè)在y軸上存在一點(diǎn)P(0，t)，t＞0，使直線PM與PN關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，不妨設(shè)M(x_M,y_M)在點(diǎn)N(x_N,y_N)的左側(cè)，由Rt△MPM₁∽R(shí)t△NPN₁得，即。把代入中，整理得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得代入，即可求得t=2。