Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標(biāo)為（2，0），與x軸交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙A的切線BC，交x軸于B．

（1）求直線CB的解析式；

（2）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線BC上，與x軸交的點(diǎn)恰為⊙A與x軸的交點(diǎn)，求該拋物線的解析式；

（3）試判斷C是否在拋物線上？

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；

（2）y=﹣x2+x+2；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）連接AC，根據(jù)圓的半徑求出AC，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出OA，然后利用勾股定理列式求出OC，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出 然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出 再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長度，然后求出OB，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為 然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)圓的性質(zhì)求出點(diǎn)然后設(shè)交點(diǎn)式拋物線解析式為再根據(jù)拋物線的對稱性確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，利用頂點(diǎn)在直線BC上求出縱坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式驗(yàn)證即可．

試題解析：(1)如圖,連接AC,

∵⊙A的半徑為4,圓心A的坐標(biāo)為(2,0)，

∴AC=4，OA=2，

在Rt△ACO中,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

∵

∴

∴

∴AB=2AC=2×4=8，

∴OB=ABOA=82=6，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0)，

設(shè)直線BC的解析式為

則

解得

所以,直線BC的解析式為

(2)∵⊙A的半徑為4,圓心A的坐標(biāo)為(2,0)，

∴點(diǎn)E(2,0)、F(6,0)，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)E.F，

∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

∵頂點(diǎn)在直線BC上，

∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x6)，

∴

解得

∴

即

(3)當(dāng)x=0時,

所以,點(diǎn)在拋物線上.