【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸與D,C兩點(diǎn),連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(Ⅰ)求拋物線的解析式和tan∠BAC的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下,P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(Ⅰ)y=x2﹣x+3,;(Ⅱ)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36)、(,)、(,).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n,就可得到拋物線的解析式,然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo),過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H,如圖1.易得∠BCH=∠ACO=45°,BC=,AC=3,從而得到∠ACB=90°,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值;
(Ⅱ)過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G,則∠PGA=90°.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方,①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),△PAQ∽△CAB.此時(shí)可證得△PGA∽△BCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x.則有P(x,3﹣3x),然后把P(x,3﹣3x)代入拋物線的解析式,就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),△PAQ∽△CBA,同理,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,同理,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
解:(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得
,
解得:.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+3.
聯(lián)立,
解得:或,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).
過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H,如圖1.∵C(3,0),B(4,1),
∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4﹣3=1,∴BH=CH=1.
∵∠BHC=90°,∴∠BCH=45°,BC=.
同理:∠ACO=45°,AC=3,
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,
∴tan∠BAC===;
(Ⅱ)(1)存在點(diǎn)P,使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.
過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G,則∠PGA=90°.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x.
∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,∴∠APQ=∠ACB=90°.
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方,
①如圖2①,當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),則△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,∴△PGA∽△BCA,
∴==.
∴AG=3PG=3x.
則P(x,3﹣3x).把P(x,3﹣3x)代入y=x2﹣x+3,得:x2﹣x+3=3﹣3x,
整理得:x2+x=0,解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去).
②如圖2②,當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),則△PAQ∽△CBA.
同理可得:AG=PG=x,則P(x,3﹣x),
把P(x,3﹣x)代入y=x2﹣x+3,得:x2﹣x+3=3﹣x,
整理得:x2﹣x=0,解得:x1=0(舍去),x2=,∴P(,);
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,
①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),則△PAQ∽△CAB,
同理可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36).
②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),則△PAQ∽△CBA.
同理可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,).
綜上所述:滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36)、(,)、(,).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從甲、乙兩名優(yōu)秀選手中選一名選手參加全市中學(xué)生田徑百米比賽.該校預(yù)先對(duì)這兩名選手測(cè)試了8次,測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
選手甲的成績(jī)/秒 | 12.1 | 12.2 | 13 | 12.5 | 13.1 | 12.5 | 12.4 | 12.2 |
選手乙的成績(jī)/秒 | 12 | 12.4 | 12.8 | 13 | 12.2 | 12.8 | 12.3 | 12.5 |
根據(jù)測(cè)試成績(jī),請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)做出判斷,派哪一位選手參加比賽更好?為什么
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016廣西省賀州市第7題)一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4,8,則它的周長(zhǎng)為( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組數(shù)可能是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的是( )
A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2﹣3x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣4).
(1)k= ;
(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,B的坐標(biāo)為 ;
(3)設(shè)拋物線y=x2﹣3x+k的頂點(diǎn)為M,求四邊形ABMC的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人騎自行車從甲地到乙地,到達(dá)乙地他馬上返回甲地.如圖反映的是他離甲地的距離s(km)及他騎車的時(shí)間t(h)之間的關(guān)系,則下列說法正確的是( )
A.甲、乙兩地之間的距離為60km
B.他從甲地到乙地的平均速度為30km/h
C.當(dāng)他離甲地15km時(shí),他騎車的時(shí)間為1h
D.若他從乙地返回甲地的平均速度為10km/h,則點(diǎn)A表示的數(shù)字為5
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為AC上一點(diǎn),且BD=BC.將△BCD沿直線BD折疊后,點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E處,若AE=DE,則∠A的度數(shù)為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品公司產(chǎn)銷一種食品,已知每月的生產(chǎn)成本y1與產(chǎn)量x之間是一次函數(shù)關(guān)系,函數(shù)y1與自變量z(kg)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x(單位:kg) | 10 | 20 | 30 |
y1(單位:/元) | 3030 | 3060 | 3090 |
(1)求y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn),這種食品每月的銷售收入y2(元)與銷量x(kg)之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系
①y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ;
②假設(shè)該公司每月生產(chǎn)的該種食品均能全部售出,那么該公司每月至少要生產(chǎn)該種食品多少kg,才不會(huì)虧損?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,BE=BF,連接AE,EF和CF.
(1)求證:△ABE≌△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度數(shù).
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com