Question

【題目】請從以下（A）、（B）兩題中任選一個解答．

（A）已知：拋物線交軸于點和點，交軸于點．

（1）拋物線的解析式為_____________；

（2）點為第一象限拋物線上一點，是否存在使面積最大的點？若不存在，請說明理由，若存在，求出點的坐標；

（3）點的坐標為，連接將線段繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)得線段（點分別與點對應(yīng)），使點都在拋物線上，請直接寫點的坐標．

（B）如圖，已知拋物線與軸從左至右交于兩點，與軸交于點．

（1）拋物線的解析式為___________:

（2）是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點不重合），過點作軸于點交直線于點，連接，直線能否把分成面積之比為的兩部分？若能，請求出點的坐標；若不能，請說明理由；

（3）若為拋物線對稱軸上一動點，為直角三角形，請直接寫出點的坐標．

我選做的是______．

Answer 1

【答案】選B（1）y=-x2+4x+5；（2）能． D的坐標為（，）或（，）；（3）（2，7），（2，-3），（2，6），（2，-1）．

【解析】

選B:（1）把C點坐標代入y=a（x+1）（x-5）中求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）先解方程-（x+1）（x-5）=0得A（-1，0），B（5，0），再利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=-x+5，設(shè)D（x，-x2+4x+5），則E（x，-x+5），F（x，0），（0＜x＜5），則DE=-x2+5x，EF=-x+5，利用三角形的面積公式進行討論：當DE：EF=2：3時，S△BDE：S△BEF=2：3；當DE：EF=3：2時，S△BDE：S△BEF=3：2，從而可得到關(guān)于x的方程，然后解方程求出x就看得到對應(yīng)的D點坐標；
（3）先確定拋物線的對稱軸，如圖，設(shè)M（2，t），利用兩點間的距離公式得到BC2=50，MC2=t2-10t+29，MB2=t2+9，利用勾股定理的逆定理分類討論：當BC2+MC2=MB2時，△BCM為直角三角形，則50+t2-10t+29=t2+9；當BC2+MB2=MC2時，△BCM為直角三角形，則50+t2+9=t2-10t+29；當MC2+MM2=BC2時，△BCM為直角三角形，則t2-10t+29+t2+9=50，然后分別解關(guān)于t的方程，從而可得到滿足條件的M點坐標．

選B:

（1）把C（0，5）代入y=a（x+1）（x-5）得-5a=5，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+1）（x-5），即y=-x2+4x+5；
（2）能．
當y=0時，-（x+1）（x-5）=0，解得x1=-1，x2=5，則A（-1，0），B（5，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，解得 ，

所以直線BC的解析式為y=-x+5，
設(shè)D（x，-x2+4x+5），則E（x，-x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE=-x2+4x+5-（-x+5）=-x2+5x，EF=-x+5，
當DE：EF=2：3時，S△BDE：S△BEF=2：3，即（-x2+5x）：（-x+5）=2：3，
整理得3x2-17x+10=0，解得x1= ，x2=5（舍去），此時D點坐標為（，）；
當DE：EF=3：2時，S△BDE：S△BEF=3：2，即（-x2+5x）：（-x+5）=3：2，
整理得2x2-13x+15=0，解得x1=，x2=5（舍去），此時D點坐標為（，）；
綜上所述，當點D的坐標為（，）或（，）時，直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分；
（3）拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，
設(shè)M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2=52+52=50，MC2=22+（t-5）2=t2-10t+29，MB2=（2-5）2+t2=t2+9，
當BC2+MC2=MB2時，△BCM為直角三角形，∠BCM=90°，即50+t2-10t+29=t2+9，解得t=7，此時M點的坐標為（2，7）；
當BC2+MB2=MC2時，△BCM為直角三角形，∠CBM=90°，即50+t2+9=t2-10t+29，解得t=-3，此時M點的坐標為（2，-3）；
當MC2+MM2=BC2時，△BCM為直角三角形，∠CMB=90°，即t2-10t+29+t2+9=50，解得t1=6，t2=-1，此時M點的坐標為（2，6）或（2，-1），
綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（2，7），（2，-3），（2，6），（2，-1）．