Question

　　(黑龍江省2002年中考試題)已知等邊三角形ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h.“若點P在一邊BC上，如圖1所示，此時h₃=0，可得結(jié)論：h₁+h₂+h₃=h”．

圖1

　　請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：如圖2所示，當(dāng)點P在△ABC內(nèi)；如圖3所示，當(dāng)點P在△ABC外這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h₁、h₂、h₃與h之間又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

　　　　　

圖2　　　　　　　　　 圖3

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：點P與△ABC的位置關(guān)系有三種，可用面積法對每一種情形進(jìn)行討論，其中后兩種情況通過添加輔助線都可以轉(zhuǎn)化成第一種情況． 　　解：當(dāng)點P在△ABC內(nèi)時，結(jié)論h1+h2+h3=h仍成立，過點P作NQ∥BC分別交AB、AC、AM于N、Q、K． 　　由題意得h1十h2=AK，易證KM=PF=h3． 　　∴　 h1+h2+h3=AK+KM=h． 　　當(dāng)點P在△ABC外時，結(jié)論h1+h2+h3=h不成立， 　　如圖3所示，它們的關(guān)系是h1+h2-h3=h． 　　點評：本題是一道探索性問題，此題如果用三角形全等的方法解很繁，而改用面積法則方便得多．另外，對于探索性問題要從最簡單、最特殊的情形入手，將復(fù)雜問題簡單化．