Question

如圖(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝90°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．

小題1:寫出頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
小題2:如圖(2)，點(diǎn)P為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（P與A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分別為M，N．設(shè)PM＝x，四邊形OMPN的面積為y．
①求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OMPN的面積恰好等于梯形OABC的面積的一半？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

小題1:A(6，0)，B(3，4)，C(0，4)
小題2:①  0<x<4 ②存在P點(diǎn)(，2)

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)，由圖可直接得出；求出BC、OC的長，即可得到點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）①PM=x，由圖得，0＜x＜4，由cos∠OAB=3/5，得到MA=3/4x，由矩形的面積，可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)S_矩形OMPN=1/2S_梯形OABC可得到一點(diǎn)；
解 答：
（1）由圖得，A（6，0），B（3，4），C（0，4），
做BD⊥OA，所以，BD=OC，BC=OD；
由OA=6，AB=5，cos∠OAB=3/5得，
AD=3，BD=4，
即，BC=3，OC=4；
故坐標(biāo)為：A（6，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）①∵設(shè)PM=x，由圖得，0＜x＜4，
則，AM=3/4x，
所以，y=（6-3/4x）x，
整理得，y=-3/4x²+6x；
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=-3/4x²+6x（0＜x＜4）；
②由-3/4x²+6x=1/2×[（3+6）×4÷2]整理得，
x²-8x+12=0，
解得，x₁=2，x₂=6（舍去），
OM=6-2×3/4=9/2，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9/2，2）。