Question

14．在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，連接AD．
（1）如圖1，求證：CD=BD；
（2）如圖2，設(shè)⊙O交AC邊于點(diǎn)E，過D點(diǎn)作DG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)F，連接DE、EF，求證：∠DEC=∠AEF；
（3）在（2）的條件下，若tan∠CED=$\frac{4}{3}$，OG=$\frac{7}{6}$，求△AED的面積．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，然后由AB=AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可證得CD=BD；
（2）由DG⊥AB，可得$\widehat{AF}$=$\widehat{AD}$，即可得∠ABD=∠AEF，繼而證得結(jié)論；
（3）首先連接OD，易求得tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{4}{3}$，再設(shè)AG=4x，DG=3x，在Rt△ODG中，可得（$\frac{7}{6}$）²+（3x）²=（4x-$\frac{7}{6}$）²，即可求得AG，DG的長(zhǎng)，然后再過點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，求得AE的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴CD=BD；

（2）證明：∵AB⊥DF，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABD=∠AEF，
∴∠ABD+∠AED=180°，∠DEC+∠AED=180°，
∴∠DEC=∠ABD=∠AEF；

（3）連接OD，
由（2）知，∠DEC=∠AEF，
∵∠AEF=∠ADF，
∴∠DEC=∠ADF，
∴tan∠ADF=tan∠DEC=$\frac{4}{3}$，
∵AB⊥DG，
∴tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AG=4x，DG=3x，
∵OG=$\frac{7}{6}$，
∴OD=OA=4x-$\frac{7}{6}$，
在Rt△ODG中，（$\frac{7}{6}$）²+（3x）²=（4x-$\frac{7}{6}$）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴AG=$\frac{16}{3}$，DG=4，
過點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，
由（1）可知：AD平分∠BAC，
∴DH=DG=4，AH=AG=$\frac{16}{3}$，
∵tan∠EDC=$\frac{4}{3}$，
∴EH=3，
∴AE=$\frac{16}{3}$-3=$\frac{7}{3}$，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$AE•DH=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{3}$×4=$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線、掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．