【題目】如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連結(jié)DE,過(guò)頂點(diǎn)B作BF⊥DE,垂足為F,BF分別交AC于H,交BC于G.
(1)求證:BG=DE;
(2)若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn),求 的值.
【答案】
(1)解:∵BF⊥DE,
∴∠GFD=90°,
∵∠BCG=90°,∠BGC=∠DGF,
∴∠CBG=∠CDE,
在△BCG與△DCE中,
∴△BCG≌△DCE(ASA),
∴BG=DE,
(2)解:設(shè)CG=1,
∵G為CD的中點(diǎn),
∴GD=CG=1,
由(1)可知:△BCG≌△DCE(ASA),
∴CG=CE=1,
∴由勾股定理可知:DE=BG= ,
∵sin∠CDE= = ,
∴GF= ,
∵AB∥CG,
∴△ABH∽△CGH,
∴ = ,
∴BH= ,GH= ,
∴ =
【解析】(1)由于BF⊥DE,所以∠GFD=90°,從而可知∠CBG=∠CDE,根據(jù)全等三角形的判定即可證明△BCG≌△DCE,從而可知BG=DE;(2)設(shè)CG=1,從而知CG=CE=1,由勾股定理可知:DE=BG= ,由易證△ABH∽△CGH,所以 ,從而可求出HG的長(zhǎng)度,進(jìn)而求出 的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形,以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)第1次用600元購(gòu)進(jìn)2B鉛筆若干支,第2次用800元又購(gòu)進(jìn)該款鉛筆,但這次每支的進(jìn)價(jià)是第1次進(jìn)價(jià)的八折,且購(gòu)進(jìn)數(shù)量比第1次多了100支.
(1)求第1次每支2B鉛筆的進(jìn)價(jià);
(2)若要求這兩次購(gòu)進(jìn)的2B鉛筆按同一價(jià)格全部銷售完畢后獲利不低于600元,問(wèn)每支2B鉛筆的售價(jià)至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,∠A=36°,直線MN垂直平分AC交AB于M,
(1)求∠BCM的度數(shù);(2)若AB=5,BC=3,求△BCM的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D是直線外一點(diǎn),在上取兩點(diǎn)A,B,連接AD,分別以點(diǎn)B,D為圓心,AD,AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接CD,BC,則四邊形ABCD是平行四邊形,理由是:_________________________
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠CDA.
(1)求證:BE∥DF;
(2)若∠ABC=56°,求∠ADF的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:∠AOB和兩點(diǎn)C、D,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法,不要求證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q分別為AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始B→C方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā);設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng);
(2)從出發(fā)幾秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形?
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,直線PQ能否把原三角形周長(zhǎng)分成相等的兩部分?若能夠,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間;若不能夠,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD(AB<AD).
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖,保留作圖痕跡;
①以點(diǎn)A為圓心,以AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊BC于點(diǎn)E,連接AE;
②作∠DAE的平分線交CD于點(diǎn)F;
③連接EF;
(2)在(1)作出的圖形中,若AB=8,AD=10,則tan∠FEC的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2).
(1)當(dāng)b=1,c=﹣4時(shí),求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)M(t﹣1,5),N(t+1,5)在該二次函數(shù)的圖象上,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時(shí),若該二次函數(shù)的圖象與直線y=3x﹣1交于點(diǎn)P,Q,將此拋物線在直線PQ下方的部分圖象記為C,
①試判斷此拋物線的頂點(diǎn)是否一定在圖象C上?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)舉反例;
②已知點(diǎn)P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′,若P′在圖象C上,求b的取值范圍.
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