Question

【題目】建立模型：

如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)B，過A作AD⊥ED于D，過C作CE⊥ED于E.則易證△ADB≌△BEC.這個(gè)模型我們稱之為“一線三垂直”.它可以把傾斜的線段AB和直角∠ABC轉(zhuǎn)化為橫平豎直的線段和直角，所以在平面直角坐標(biāo)系中被大量使用.

模型應(yīng)用：

(1)如圖2，點(diǎn)A（0，4)，點(diǎn)B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．

①若∠ABC＝90°，且點(diǎn)C在第一象限，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②若AB為直角邊，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖3，長方形MFNO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F的坐標(biāo)為（8，6），M、N分別在坐標(biāo)軸上，P是線段NF上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PN＝n，已知點(diǎn)G在第一象限，且是直線y＝2x一6上的一點(diǎn)，若△MPG是以G為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、.

【解析】

（1）①過C作CD垂直于x軸構(gòu)造“一線三垂直”，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；②點(diǎn)C有四處，分別作出圖形，根據(jù)“一線三垂直”或?qū)ΨQ求解即可；（2）當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)時(shí)，分點(diǎn)G在矩形MFNO的內(nèi)部與外部兩種情況構(gòu)造“一線三垂直”求解即可．

（1）①如圖，過C作CD垂直于x軸，

根據(jù)“一線三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，

∵點(diǎn)A（0，4)，點(diǎn)B(3，0），∴AO=4，OB=3 ，

∴OD=3+4=7，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,3）；

②如圖，若AB為直角邊，點(diǎn)C的位置可有4處，

a、若點(diǎn)C在①的位置處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,3）；

b、若點(diǎn)C在的位置處，同理可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,7）；

c、若點(diǎn)C在的位置處，則、關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，

∵點(diǎn)A（0，4)，點(diǎn)（4,7），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,1）；

d、若點(diǎn)C在的位置處，則、C關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，

∵點(diǎn)B(3，0），點(diǎn)C（7,3），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-3）；

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；

（2）當(dāng)點(diǎn)G位于直線y=2x-6上時(shí)，分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)G在矩形MFNO的內(nèi)部時(shí)，如圖，過G作x軸的平行線AB，交y軸于A，交直線NF于點(diǎn)B，設(shè)G（x，2x-6）；

則OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；

則△MAG≌△GBP，得AM =BG，

即：12-2x=8-x，解得x=4，

∴G（4，2）；

當(dāng)點(diǎn)G在矩形MFNO的外部時(shí)，如圖，過G作x軸的平行線AB，交y軸于A，交直線NF的延長線于點(diǎn)B，設(shè)G（x，2x-6）；

則OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；

則△MAG≌△GBP，得AM =BG，

即：2x-12=8-x，解得，

∴G ；

綜上，G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）、.