Question

如圖所示，△OAB是邊長為2+

3

的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點A在x軸的正方向上，將△OAB折疊，使點B落在邊OA上，記為B′，折痕為EF．
（1）設(shè)OB′的長為x，△OB′E的周長為c，求c關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當B′E∥y軸時，求點B′和點E的坐標；
（3）當B′在OA上運動但不與O、A重合時，能否使△EB′F成為直角三角形？若能，請求出點B′的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）∵B′和B關(guān)于EF對稱，
∴B′E=BE，
∴c=OB′+B′E+OE=OB′+BE+OE=x+OB=x+2+

3

．

（2）當B′E∥y軸時，∠EB′O=90°．
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠EOB′=60°，OB′=

1

2

EO．
設(shè)OB′=a，則OE=2a．
在Rt△OEB′中，tan∠EOB′=

B′E

B′O

，
∴B′E=B′Otan∠EOB′=

3

a；
∵B′E+OE=BE+OE=2+

3

，
∴a=1，
∴B′（1，0），E（1，

3

）．

（3）答：不能．
理由如下：
∵∠EB′F=∠B=60°，
∴要使△EB′F成為直角三角形，則90°角只能是∠B′EF或∠B′FE．
假設(shè)∠B′EF=90°，
∵△FB′E與△FBE關(guān)于FE對稱，
∴∠BEF=∠B′EF=90°，
∴∠BEB′=180°，
則B′、E、B三點在同一直線上，B′與O重合．
這與題設(shè)矛盾．
∴∠B′EF≠90°．
即△EB′F不能為直角三角形．
同理，∠B′FE=90°也不成立．
∴△EB′F不能成為直角三角形．