Question

若x₁、x₂是關于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的兩個根，則方程的兩個根x₁、x₂和系數(shù)a、b、c有如下關系：x₁＋x₂＝－，x₁•x₂＝．把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關系定理．如果設二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根與系數(shù)關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：AB＝|x₁－x₂|＝＝＝＝；

參考以上定理和結論，解答下列問題：

設二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的兩個交點A(x₁，0)，B(x₂，0)，拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．

(1)當△ABC為直角三角形時，求b²－4ac的值；

(2)當△ABC為等邊三角形時，求b²－4ac的值．

Answer 1

考點：

拋物線與x軸的交點；根與系數(shù)的關系；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。

分析：

(1)當△ABC為直角三角形時，由于AC＝BC，所以△ABC為等腰直角三角形，過C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE．根據(jù)本題定理和結論，得到AB＝，根據(jù)頂點坐標公式，得到CE＝||＝，列出方程，解方程即可求出b²－4ac的值；

(2)當△ABC為等邊三角形時，解直角△ACE，得CE＝AE＝，據(jù)此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值．

解答：

解：(1)當△ABC為直角三角形時，過C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE．

∵拋物線與x軸有兩個交點，△＝b²－4ac＞0，則|b²－4ac|＝b²－4ac．

∵a＞0，∴AB＝，

又∵CE＝||＝，

∴，

∴，

∴，

∵b²－4ac＞0，

∴b²－4ac＝4；

(2)當△ABC為等邊三角形時，

由(1)可知CE＝，

∴，

∵b²－4ac＞0，

∴b²－4ac＝12．

點評：

本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點及根與系數(shù)的關系定理，綜合性較強，難度中等．