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【題目】如圖,已知一次函數y2x2的圖象與y軸交于點B,與反比例函數的圖象的一個交點為A(1,m) .過點BAB的垂線BD,與反比例函數(x0)的圖象交于點D(n,-2)

1)求k1k2的值;

2)若直線ABBD分別交x軸于點C、E,試問在y軸上是否存在一點F,使得△BDF∽△ACE.若存在,求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1k1=4、k2=16

2)存在符合條件的F坐標為(0,-8

【解析】

1)將A坐標代入一次函數解析式中求出m的值,確定出A的坐標,將A坐標代入反比例函數

中即可求出k1的值;

AAM垂直于y軸,過DDN垂直于y軸,可得出一對直角相等,再由AC垂直于BD,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△ABM△BDN相似,由相似得比例,求出DN的長,確定出D的坐標,代入反比例函數中即可求出k2的值;

2)在y軸上存在一個點F,使得△BDF∽△ACE,此時F0,-8),理由為:由y=2x+2求出C坐標,由OB=ON=2,DN=8,可得出OE△BDN的中位線,求出OE的長,進而利用勾股定理求出AE,CE,AC,BD的長,以及∠EBO=∠ACE=∠EAC,若△BDF∽△ACE,得到比例式,求出BF的長,即可確定出此時F的坐標。

解:(1)將A1,m)代入一次函數y=2x+2中,得:m=2+2=4,

∴A1,4)。

A14)代入反比例解析式得:k1=4。

AAM⊥y軸于點M,過DDN⊥y軸于點N,

∴∠AMB=∠DNB=90°。∴∠BAM+∠ABM=90°

∵AC⊥BD,即∠ABD=90°,

∴∠ABM+∠DBN=90°。∴∠BAM=∠DBN。

∴△ABM∽△BDN,即。∴DN=8。

∴D8,-2)。

D坐標代入得:k2=16。

2)存在符合條件的F坐標為(0,-8)。理由如下:

y=2x+2,求出C坐標為(-10)。

∵OB=ON=2,DN=8,∴OE=4

可得AE=5,CE=5,AC=2,BD=4∠EBO=∠ACE=∠EAC。

△BDF∽△ACE,則,即,解得:BF=10。

∴F0,-8)。

存在符合條件的F坐標為(0,-8)。

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