Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝2，以邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且∠DAB＝45°．
 
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若以C為圓心的⊙C與⊙O 相切，求⊙C的半徑．

Answer 1

（1）直線CD與⊙O相切；（2）－1或＋1

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD，即得∠DAB＋∠ADC＝180°，從而可以求得∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)圓的基本性質(zhì)求解即可；
（2）作CE⊥OB，交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC，即得∠CBE＝∠DAB＝45°，則可得BE＝CE＝1，在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理可求得OC的長(zhǎng)，即可求得結(jié)果.
（1）直線CD與⊙O相切．
連接OD
     
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//CD.
∴∠DAB＋∠ADC＝180°．
∵∠DAB＝45°，
∴∠ADC＝135°．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAO＝45°．
∴∠ODC＝∠ADC－∠ODA＝90°
∴OD⊥CD，
∵OD為⊙O半徑，
∴直線CD與⊙O相切；
（2）作CE⊥OB，交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OC
 
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC.
∴∠CBE＝∠DAB＝45°．
∴BE＝CE＝1．
在Rt△OCE中，OC＝＝
∵⊙C與⊙O 相切，
∴⊙C的半徑為－1或＋1．
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.