Question

20、設(shè)m=1²+2²+3²+…+2003²．今天是星期一，若算第一天，則第m天是星期幾？

Answer 1

分析：首先得出S₁=1²+2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²=20×7是7的倍數(shù)，以及S₂=2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²+8²=S₁+7×9，得出S_n+1=S_n+7N，
由2003=286×7+1，把m寫成m=1²+（2 ²+3²+4 ²+…+2003²），從而得出答案．

解答：解：令S₁=1²+2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²=140=20×7，
∴S₁是7的倍數(shù)．
S₂=2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²+8²，
=S₁+8²-1²，
=S₁+（8-1）（8+1），
=S₁+7×9．
∴S₂也是7的倍數(shù)．
∴以此類推S_n+1=S_n+7N（N為某個自然數(shù)）．
∴任何連續(xù)7個自然數(shù)之平方和都是7的倍數(shù)，
由2003=286×7+1，
把m寫成m=1²+（2 ²+3²+4 ²+…+2003²），
所以，括號內(nèi)是286組連續(xù)7個自然數(shù)的平方和，因而是7的倍數(shù)，
故m被7除余1，由此知第m天為星期一．

點評：此題主要考查了帶余數(shù)除法運(yùn)算的性質(zhì)，得出S_n+1=S_n+7N是解決問題的關(guān)鍵．