Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE•AO=BF•BO；
（2）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），求經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出此時的OF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，xy=k，即可得出AE•AO=BF•BO；
（2）利用E點(diǎn)坐標(biāo)首先求出BF=，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（3）設(shè)折疊之后C點(diǎn)在OB上的對稱點(diǎn)為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點(diǎn)G，則根據(jù)折疊性質(zhì)、相似三角形、勾股定理得出即可．
解答：（1）證明：∵E，F(xiàn)點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，
∴根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，xy=k，
∴AE•AO=BF•BO；

（2）解：∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），
∴AE•AO=BF•BO=8，
∵BO=6，∴BF=，
∴F（6，），
分別代入二次函數(shù)解析式得：，
把c=0代入得：，

解得：，
可得原方程組的解為：，
∴y=-x²+x；

（3）解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的C'點(diǎn)，
過點(diǎn)E作EG⊥OB，垂足為G．
由題意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=得：x=k，把x=6代入y=得：y=k，
∴EC'=EC=6-k，C′F=CF=4-k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-k）：（4-k）=[3（2-k）]：[2（2-k）]，
∴C'B=，
∵C'B²+BF²=C'F²，
∴（^）2+（k）²=（4-k）²，
解得k=，
∴BF==，
∴存在符合條件的點(diǎn)F，它的坐標(biāo)為（6，）．
∴FO==．
點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合以及利用相似三角形的性質(zhì)是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．