Question

（1997•昆明）已知二次函數(shù)y=-x²+mx+n，當(dāng)x=3時(shí)，有最大值4．
（1）求m、n的值．
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是A、B，求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)y＜0時(shí)，求x軸的取值范圍；
（4）有一圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，且與y軸的正半軸相切于點(diǎn)C，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=-（x-3）²+4，展開(kāi)后比較即可求出m、n的值；
（2）解方程x²+6x-5=0，即可求出這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）根據(jù)二次函數(shù)y=-x²+6x-5的開(kāi)口方向及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出y＜0時(shí)，x的取值范圍；
（4）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b）且b＞0，則圓心的坐標(biāo)為（r，b），由切線的性質(zhì)得出r為圓的半徑，根據(jù)垂徑定理得出r=3，進(jìn)而得到圓的方程為：（x-3）²+（y-b）²=3²，然后將（1，0）代入方程得：4+b²=9，解方程即可求出b的值．

解答：解：（1）可得二次函數(shù)解析式為：
y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5，
所以可得：m=6，n=-5；

（2）當(dāng)y=0時(shí)有：-x²+6x-5=0，
（x-5）（x-1）=0，
解得：x=1或x=5，
所以可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，0），（5，0）；

（3）∵y=-x²+6x-5，
∴開(kāi)口向下，
∵與x軸的交于點(diǎn)：（1，0），（5，0），
∴當(dāng)y＜0時(shí)，x＜1或x＞5；

（4）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b） 且b＞0 則有：圓心O坐標(biāo)為（r，b），
因圓與y軸相切，所以r為圓半徑．
又圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，則過(guò)圓心作直線垂直于A，B，垂線必交于AB的中點(diǎn)，即（3，0），
所以可得：r=3，
因此可得圓的方程為：（x-3）²+（y-b）²=3²，
將（1，0）代入方程得：4+b²=9，
解得：b=

5

或 b=-

5

（舍去）．
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系，垂徑定理，圓的方程，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．