【題目】老師布置了這樣一道作業(yè)題:
在△ABC中,AB=AC≠BC,點D和點A在直線BC的同側(cè),BD=BC,∠BAC=α,∠DBC=β,α+β=120°,連接AD,求∠ADB的度數(shù).
小聰提供了研究這個問題的過程和思路:先從特殊問題開始研究,當(dāng)α=90°,β=30°時(如圖1),利用軸對稱知識,以AB為對稱軸構(gòu)造ΔABD的軸對稱圖形ΔABD′,連接CD′(如圖2),然后利用α=90°,β=30°以及等邊三角形的相關(guān)知識便可解決這個問題.
圖1 圖2
(1)請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路,求出這種特殊情況下∠ADB的度數(shù);
(2)結(jié)合小聰研究特殊問題的啟發(fā),請解決老師布置的這道作業(yè)題.
【答案】(1)30°(2)30°或150°
【解析】
(1)如圖2中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,由△ABD≌△ABD′,推出△D′BC是等邊三角形,再證明△AD′B≌△AD′C,得∠AD′B=∠AD′C,由此即可解決問題.
(2)第①種情況:當(dāng)60°<α≤120°時,如圖3中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,證明方法類似(1).第②種情況:當(dāng)0°<α<60°時,如圖4中,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′.證明方法類似(1).
(1)如圖1作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°
∵∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°,
∵AB=AB,∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,
∴△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=15°,∠ADB=∠AD′B,
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°,
∵BD=BD′,BD=BC,
∴BD′=BC,
∴△D′BC是等邊三角形,
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°,
∵AB=AC,AD'=AD',
∴△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∴∠AD′B=∠BD′C=30°,
∴∠ADB=30°.
(2)解:第①種情況:當(dāng)60°<α≤120°時,
如圖2,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BAC=α,
∴∠ABC=,
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=,
同(1)可證△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=,BD=BD′,∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC==180°-(α+β),
∵α+β=120°,
∴∠D′BC=60°,
以下同(1)可求得∠ADB=30°,
第②種情況:當(dāng)0°<α<60°時,
如圖3,作∠ABD′=∠ABD,BD′=BD,連接CD′,AD′.
同理可得:∠ABC=,
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β(90°),
同(1)可證△ABD≌△ABD′,
∴∠ABD=∠ABD′=β(90°),BD=BD′,∠ADB=∠AD′B,
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-[β(90°)]=180°(α+β),
∴D′B=D′C,∠BD′C=60°.
同(1)可證△AD′B≌△AD′C,
∴∠AD′B=∠AD′C,
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°,
∴∠ADB=∠AD′B=150°
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為打造智慧課堂,準(zhǔn)備集體購買一批平板電腦,原計劃訂購60臺,每臺1000元,商家表示,如果多購,可以優(yōu)惠,結(jié)果校長實際訂購了72臺,每臺減價30元,但商家獲得同樣多的利潤.
(1)求每臺平板電腦的成本是多少元?
(2)求商家的利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表記錄的是今年長江某一周的水位變化情況,這一周的上周末的水位已達到警戒水位33米(正號表示水位比前一天上升,負號表示水位比前一天下降).
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
水位變化(米) |
(1)本周哪一天長江的水位最高?位于警戒水位之上還是之下?
(2)與上周周末相比,本周周末長江的水位是上升了還是下降了?并通過計算說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)下列語句,畫出圖形并回答問題.
如圖,已知三點A,B,C.
(1)分別作直線AB和射線AC;
(2)作線段BC, 取BC的中點D;
(3)連接AD;
(4)用量角器度量出∠ADB的度數(shù)最接近( )
A.80° B. 90° C. 100° D. 110°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下表三行數(shù)的規(guī)律,回答下列問題:
第1列 | 第2列 | 第3列 | 第4列 | 第5列 | 第6列 | … | |
第1行 | -2 | 4 | -8 | a | -32 | 64 | … |
第2行 | 0 | 6 | -6 | 18 | -30 | 66 | … |
第3行 | -1 | 2 | -4 | 8 | -16 | b | … |
(1)第1行的第四個數(shù)a是 ;第3行的第六個數(shù)b是 ;
(2)若第1行的某一列的數(shù)為c,則第2行與它同一列的數(shù)為 ;
(3)已知第n列的三個數(shù)的和為2562,若設(shè)第1行第n列的數(shù)為x,試求x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)(, )的圖象與直線相交于點C,過直線上點A(1,3)作AB⊥x軸于點B,交反比例函數(shù)圖象于點D,且AB=3BD.
(1)求k的值;
(2)求點C的坐標(biāo);
(3)在y軸上確實一點M,使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD,求點M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉辦“紅歌伴我成長”歌詠比賽活動,參賽同學(xué)的成績分別繪制成頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(均不完整)如圖:
分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
80≤x<85 | 9 | 0.15 |
85≤x<90 | m | 0.45 |
90≤x<95 | ■ | ■ |
95≤x<100 | 6 | n |
(1)求m,n的值分別是多少;
(2)請在圖中補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)比賽成績的中位數(shù)落在哪個分數(shù)段?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD中,兩條對角線AC、BD相交于點O,點E和點F分別是BC和CD上一動點,且∠EOF+∠BCD=180°,連接EF.
(1)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時,猜想三條線段CE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系___;
(2)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時,若AC=4 ,BE=,求線段EF的長;
(3)如圖3,當(dāng)∠ABC=90°,將∠EOF的頂點移到AO上任意一點O′處,∠EO′F繞點O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠EO′F+∠BCD=180°,O′E交BC的延長線一點E,射線O′F交CD的延長線上一點F,連接EF探究在整個運動變化過程中,線段CE、CF,O′C之間滿足的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出你的結(jié)論.
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