Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義點(diǎn)P（x，y）的變換點(diǎn)為P′（x+y，x﹣y）．
（1）如圖1，如果⊙O的半徑為2 ，
①請(qǐng)你判斷M（2，0），N（﹣2，﹣1）兩個(gè)點(diǎn)的變換點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系；
②若點(diǎn)P在直線y=x+2上，點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′在⊙O的內(nèi)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．

（2）如圖2，如果⊙O的半徑為1，且P的變換點(diǎn)P′在直線y=﹣2x+6上，求點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①M(fèi)（2，0）的變換點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（2，2），則OM′= =2 ，所以點(diǎn)M（2，0）的變換點(diǎn)在⊙O上；

N（﹣2，﹣1）的變換點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），則ON′= = ＞2 ，所以點(diǎn)N（﹣2，﹣1）的變換點(diǎn)在⊙O外；

②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2），則P點(diǎn)的變換點(diǎn)為P′的坐標(biāo)為（2x+2，﹣2），則OP′= ，

∵點(diǎn)P′在⊙O的內(nèi)，

∴ ＜2 ，

∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，

∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，

即點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣2＜x＜0

（2）解：設(shè)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），P（m，n），

根據(jù)題意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，

∴3m+n=6，

即n=﹣3m+6，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣3m+6），

∴點(diǎn)P在直線y=﹣3x+6上，

設(shè)直線y=﹣3x+6與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，

則A（2，0），B（0，6），

∴AB= =2 ，

∵ OHAB= OAOB，

∴OH= = ，

∴CH= ﹣1，

即點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值為 ﹣1．

【解析】（1）①根據(jù)新定義得到點(diǎn)M的變換點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（2，2），于是根據(jù)勾股定理計(jì)算出OM′=2 ，則根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法可判斷點(diǎn)M的變換點(diǎn)在⊙O上；同樣方法可判斷點(diǎn)N（﹣2，﹣1）的變換點(diǎn)在⊙O外
②利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2），利用新定義得到P點(diǎn)的變換點(diǎn)為P′的坐標(biāo)為（2x+2，﹣2），則根據(jù)勾股定理計(jì)算出OP′= ，然后利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到 ＜2 ，解不等式得﹣2＜x＜0；（2）設(shè)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），P（m，n），根據(jù)新定義得到m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，消去x得3m+n=6，則n=﹣3m+6，于是得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣3m+6），則可判斷點(diǎn)P在直線y=﹣3x+6上，設(shè)直線y=﹣3x+6與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，易得A（2，0），B（0，6），利用勾股定理計(jì)算出AB=2 ，再利用面積法計(jì)算出OH= ，所以CH= ﹣1，當(dāng)點(diǎn)P在H點(diǎn)時(shí)，PC為點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值．