【題目】如圖,在矩形ABCD中,把∠B,∠D分別翻折,使點(diǎn)B,D分別落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E,F(xiàn)處,折痕分別為CM,AN.
(1)求證:△AND≌△CMB;
(2)連接MF、NE,證明四邊形MFNE是平行四邊形;四邊形MFNE是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn),連接PQ、CQ、MN,如圖2所示,若PQ=CQ,PQ∥MN,且AB=4,BC=3,DN=,求PC的長(zhǎng)度.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,從而根據(jù)AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM,從而即可判斷出△ADN≌△CBM.
(2)連接NE、MF,根據(jù)(1)的結(jié)論可得出NF=ME,再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME,在直角三角形NFE中,NE為斜邊,NF為直角邊,可判斷四邊形MFNE不是菱形.
(3)設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QG⊥PC于G點(diǎn),首先求出AC=5,根據(jù)翻折變換知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE﹣EF)=5,可得EF=1,在Rt△NFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的長(zhǎng),即NM=PQ=QC=2NO,PC=2.
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∠B=∠D=90°,
由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠ACM,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM,
在Rt△AND和Rt△CMB中,,
∵∴△AND≌△CMB(AAS)
(2)解:由(1)得:△AND≌△CMB,
∴NF=ME,
∵∠NFE=∠MEF,
∴NF∥ME,
∴四邊形MFNE是平行四邊形,
∵MN與EF不垂直,
∴四邊形MFNE不是菱形;
(3)解:設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QG⊥PC于G點(diǎn),如圖所示:
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF﹣EF=AC,即6﹣x=5,
解得:x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
由折疊的性質(zhì)得:NF=DN=,
∵OE=OF=EF=,
∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2,
∴ON=,
∴MN=2ON=,
∵PQ∥MN,PN∥MQ,
∴四邊形MQPN是平行四邊形,
∴MN=PQ=,
∵PQ=CQ,
∴△PQC是等腰三角形,
∴PG=CG,
在Rt△QPG中,PG2=PQ2﹣QG2,
∴PG==1,
∴PC=2PG=2.
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D.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓
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A. BC=EF B. ∠A=∠D C. AC=DF D. ∠C=∠F
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【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示.
(1)作△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱的△A1B1C1.
(2)將△A1B1C1向右平移4個(gè)單位,作出平移后的△A2B2C2.
(3)在x軸上求作一點(diǎn)P,使PA1+PC2的值最小,并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不寫解答過(guò)程,直接寫出結(jié)果)
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【題目】某市實(shí)施“限塑令”后,2008年大約減少塑料消耗約4萬(wàn)噸.調(diào)查分析結(jié)果顯示,從2008年開(kāi)始,五年內(nèi)該市因?qū)嵤跋匏芰睢倍鴾p少的塑料消耗量y(萬(wàn)噸)隨若時(shí)間x(年)逐年成直線上升,y 與x之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的關(guān)系式;
(2)請(qǐng)你估計(jì),該市2011年因?qū)嵤跋匏芰睢倍鴾p少的塑料消耗量為多少?
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(1)請(qǐng)寫出圖中所有的等腰三角形;
(2)若AB+AC=14,求△AMN的周長(zhǎng).
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