【題目】如圖,在矩形ABCD中,把B,D分別翻折,使點(diǎn)B,D分別落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E,F(xiàn)處,折痕分別為CM,AN.

(1)求證:AND≌△CMB;

(2)連接MF、NE,證明四邊形MFNE是平行四邊形;四邊形MFNE是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)點(diǎn)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn),連接PQ、CQ、MN,如圖2所示,若PQ=CQ,PQMN,且AB=4,BC=3,DN=,求PC的長(zhǎng)度.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DAN=NAC,BCM=ACM,從而根據(jù)ADBC可得出DAN=BCM,從而即可判斷出ADN≌△CBM.

(2)連接NE、MF,根據(jù)(1)的結(jié)論可得出NF=ME,再由NFE=MEF可判斷出NFME,在直角三角形NFE中,NE為斜邊,NF為直角邊,可判斷四邊形MFNE不是菱形.

(3)設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QGPC于G點(diǎn),首先求出AC=5,根據(jù)翻折變換知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE﹣EF)=5,可得EF=1,在RtNFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的長(zhǎng),即NM=PQ=QC=2NO,PC=2

(1)證明:四邊形ABCD是正方形,

AD=BC,B=D=90°,

由折疊的性質(zhì)得出DAN=NAC,BCM=ACM,

ADBC,

∴∠DAC=BCA,

∴∠DAN=BCM,

在RtAND和RtCMB中,,

∵∴△AND≌△CMB(AAS)

(2)解:由(1)得:AND≌△CMB,

NF=ME,

∵∠NFE=MEF,

NFME,

四邊形MFNE是平行四邊形,

MN與EF不垂直,

四邊形MFNE不是菱形;

(3)解:設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O,EF=x,作QGPC于G點(diǎn),如圖所示:

AB=4,BC=3,

AC=5,

AF=CE=BC=3,

2AF﹣EF=AC,即6﹣x=5,

解得:x=1,

EF=1,

CF=2,

由折疊的性質(zhì)得:NF=DN=,

OE=OF=EF=

在RtNFO中,ON2=OF2+NF2

ON=,

MN=2ON=

PQMN,PNMQ,

四邊形MQPN是平行四邊形,

MN=PQ=,

PQ=CQ,

∴△PQC是等腰三角形,

PG=CG,

在RtQPG中,PG2=PQ2﹣QG2,

PG==1,

PC=2PG=2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求y與x之間的關(guān)系式;

(2)請(qǐng)你估計(jì),該市2011年因?qū)嵤跋匏芰睢倍鴾p少的塑料消耗量為多少?

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