Question

【題目】已知二次函數(shù)y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m為常數(shù)，且a≠0）．
（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于D點(diǎn)．
①當(dāng)△ABC的面積為1時(shí)，求a的值．
②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，

△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，

∵a≠0，

∴a2＞0，

∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)

（2）

解：①y=0，則a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，

解得x1=m，x2=m+1，

∴AB=（m+1）﹣m=1，

y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，

△ABC的面積= ×1×|﹣ |=1，

解得a=±8；

②x=0時(shí)，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，

所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，am2+am），

△ABD的面積= ×1×|am2+am|，

∵△ABC的面積與△ABD的面積相等，

∴ ×1×|am2+am|= ×1×|﹣ |，

整理得，m2+m﹣ =0或m2+m+ =0，

解得m= 或m=﹣

【解析】（1）把（x﹣m）看作一個(gè)整體，令y=0，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可；（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出AB，再把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；②令x=0求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積列式計(jì)算即可得解．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�