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如圖(1),凸四邊形ABCD,如果點(diǎn)P滿足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β,則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn).
【小題1】在圖(3)正方形ABCD內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)P,且滿足α≠β;
【小題2】在圖(4)四邊形ABCD中畫出一個(gè)半等角點(diǎn)P,保留畫圖痕跡(不需寫出畫法);
【小題3】若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1、P2(如圖(2)),證明線段P1P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn).

【小題1】所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn).(2分)
【小題2】畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B’,延長DB’交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)P為所求(不寫文字說明不扣分).(3分)
【小題3】連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根據(jù)題意,

∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠BP1C,
∴∠AP1B+∠BP1C=180度.
∴P1在AC上,
同理,P2也在AC上.
在△DP1P2和△BP1P2中,
∠DP2P1=∠BP2P1,∠DP1P2=∠BP1P2,P1P2公共,
∴△DP1P2≌△BP1P2
所以DP1=BP1,DP2=BP2,于是B、D關(guān)于AC對稱.
設(shè)P是P1P2上任一點(diǎn),連接PD、PB,由對稱性,得∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC,
所以點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn).(5分)解析:
(1)根據(jù)題意可知,所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn).因?yàn)樵趫D形內(nèi)部,所以不能是AC的端點(diǎn),又由于α≠β,所以不是AC的中點(diǎn).
(2)畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B’,延長DB’交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)P為所求.(因?yàn)閷ΨQ的兩個(gè)圖形完全重合)
(3)先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根據(jù)題意∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度.∴P1在AC上,同理,P2也在AC上,再利用ASA證明△DP1P2≌△BP1P2而,那么△P1DP2和△P1BP2關(guān)于P1P2對稱,P是對稱軸上的點(diǎn),所以∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC.即點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

23、如圖(1),凸四邊形ABCD,如果點(diǎn)P滿足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β,則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn).
(1)在圖(3)正方形ABCD內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)P,且滿足α≠β;
(2)在圖(4)四邊形ABCD中畫出一個(gè)半等角點(diǎn)P,保留畫圖痕跡(不需寫出畫法);
(3)若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1、P2(如圖(2)),證明線段P1P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn).

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12、如圖,已知在凸四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于O,且AC⊥BD,OA>OC,OB>OD.
求證:BC+AD>AB+CD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖(1),凸四邊形ABCD,如果點(diǎn)P滿足∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn).
(1)在圖(2)正方形ABCD內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)P,且滿足α≠β;
(2)在圖(3)四邊形ABCD中畫出一個(gè)半等角點(diǎn)P,保留畫圖痕跡(不需寫出畫法).

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如圖所示,在凸四邊形ABCD中,∠ABD>∠CBD,∠ADB>∠CDB.求證:AB+AD>BC+CD.

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如圖,設(shè)P是凸四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),過P分別作AB、BC、CD、DA的垂線,垂足分別為E、F、G、H.已知AH=3,HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,F(xiàn)B=4,且BE-AE=1.則四邊形ABCD的周長為
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同步練習(xí)冊答案
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