Question

如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB=4．將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上．
（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長(zhǎng)．
（2）線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、D重合）自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜3），過P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）當(dāng)t（0＜t＜3）為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由折疊可知△AOE≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及對(duì)應(yīng)角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)兩組對(duì)邊互相平行得到四邊形MNDP為平行四邊形，又∠ADE為直角，所以MNDP為矩形，根據(jù)題意表示出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到PD的長(zhǎng)，又由平行得到兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出PM的長(zhǎng)，由矩形的面積公式長(zhǎng)乘以寬和表示出的長(zhǎng)DP與寬PM，表示出矩形的面積，得到面積與t成二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)求最值的方法求出面積S的最大值及取得最大值時(shí)t的值即可；
（3）根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)有兩種情況滿足△ADM為等腰三角形，①當(dāng)MD=MA時(shí)，P為AD中點(diǎn)，由AD求出AP，進(jìn)而根據(jù)速度求出此時(shí)t的值，此時(shí)三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，根據(jù)“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即為M的縱坐標(biāo)，求出FA，進(jìn)而求出OF的長(zhǎng)，即為M的橫坐標(biāo)，寫出M的坐標(biāo)即可；②當(dāng)AD=AM=3時(shí)，由平行的兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式，求出AP的長(zhǎng)，由速度求出此時(shí)t的值，此時(shí)三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，根據(jù)“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）據(jù)題意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，AB=

32+42

=5，
設(shè)DE=OE=x，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
即2²+x²=（4-x）²，解得x=

3

2

，∴E（0，

3

2

）
在Rt△AOE中，AE=

32+( 3 2 )2

=

3 5

2

；

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，
∴四邊形PMND是矩形，
∵AP=t×1=t，
∴PD=3-t，
∵△AMP∽△AED，
∴

PM

DE

=

AP

AD

，
∴PM=

AP

AD

•DE=

t

2

，
∴S矩形PMND=PM?PD=

t

2

?(3-t)，
∴S矩形PMND=-

1

2

t2+

3

2

t或S矩形PMND=-

1

2

(t-

3

2

)2+

9

8

，
當(dāng)t=-

3 2

2×(- 1 2 )

=

3

2

時(shí)S最大=

9

8

；

（3）顯然DM≠AD，故等腰三角形有以下二種情況：
①當(dāng)MD=MA時(shí)，點(diǎn)P是AD中點(diǎn)，
∴AP=

AD

2

=

3

2

，
∴t=

3

2

÷1=

3

2

（秒）
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，
過點(diǎn)M作MF⊥OA于F，
∵△APM≌△AFM，
∴AF=AP=

3

2

，MF=MP=

t

2

=

3

4

，
∴OF=OA-AF=3-

3

2

=

3

2

，
∴M（

3

2

，

3

4

）；

②當(dāng)AD=AM=3時(shí)，
∵△AMP∽△AED，
∴

AP

AD

=

AM

AE

，
∴

AP

3

=

3

3 5 2

，
∴AP=

6 5

5

，
∴t=

6 5

5

÷1=

6 5

5

（秒）
∴當(dāng)t=

6 5

5

秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，
過點(diǎn)M作MF⊥OA于F，
∵△AMF≌△AMP，
∴AF=AP=

6 5

5

，F(xiàn)M=PM=

t

2

=

3 5

5

，
∴OF=OA-AF=3-

6 5

5

，
∴M（3-

6

5

5

，

3

5

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，考查了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，此題的綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面．