Question

閱讀下面材料：

小明觀察一個(gè)由正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離都是1．他發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問(wèn)題：對(duì)于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它們相交所成銳角的正切值．

請(qǐng)回答：（1）如圖1，A、B、C是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)D，作出線段CD，使得CD⊥AB；

（2）如圖2，線段AB與CD交于點(diǎn)O．為了求出的正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn)E，連接AE，恰好滿足于F，再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決．

請(qǐng)你幫小明計(jì)算：OC=_______________；=_______________；

Answer 1

（1）作圖見(jiàn)試題解析；（2）OC=，=5；（3）=．

【解析】

試題分析：（1）用三角板過(guò)C作AB的垂線，從而找到D的位置；

（2）連結(jié)AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可以求出AF，DF的長(zhǎng)，從而求出OF的長(zhǎng)，在Rt△AFO中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出tan∠AOD的值；

（3）如圖，連結(jié)AE、BF，則AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可以求得．

試題解析：（1）如圖，線段CD即為所求；

（2）連結(jié)AC、DB、AD、DE．∵AD=DE=2，∴AE=，∵CD⊥AE，∴DF=AF=，∵AC∥DB，∴△ACO∽△DBO，∴CO：DO=2：3，∴CO=CD==，∴DO=，∴OF==，∴==5；

（3）如圖，連結(jié)AE、BF，則AF=，AB=，BF=2，AE=5，∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF，∴AO：OB=AE：FB=5：2，∴AO=AB=，在Rt△AOF中，OF=，∴==．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．銳角三角函數(shù)的定義．