Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若AB∥x軸，如圖1，求t的值；

（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，連接A′B，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，∠OA′B的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，若不變，請求出∠OA′B的度數(shù)，若改變，請說明理由．

（3）如圖2，當(dāng)t＝3時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)M（不與A重合）使得以M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度數(shù)不變，∠OA′B＝，理由見解析；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，可證明△AOP為等腰直角三角形，從而求得答案；

（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得∠OA'B＝45°；

（3）分類討論：分別討論當(dāng)△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)的情況；過點(diǎn)M作x軸的垂線、過點(diǎn)B作y軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

（1）∵AB∥x軸，△APB為等腰直角三角形，

∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4．

∴t＝4÷1＝4（秒），

故t的值為4．

（2）如圖2，∠OA′B的度數(shù)不變，∠OA′B＝45°，

∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，

∴PA＝PA'，

又AP＝PB，

∴PA＝PA'＝PB，

∴∠PAA'＝∠PA'，∠PBA'＝∠PA'B，

又∵∠PAB+∠PBA＝90°，

∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'

＝180

90°

=90°，

∴∠AA'B＝45°，

即∠OA'B＝45°；

（3）當(dāng)t＝3時(shí)，M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，

①如圖3，若△ABP≌△MBP，

則AP＝PM，過點(diǎn)M作MD⊥OP于點(diǎn)D，

∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，

∴△AOP≌△MDP（AAS），

∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，

∴M的坐標(biāo)為：（6，-4）．

②如圖4，若△ABP≌△MPB，則，

過點(diǎn)M作M⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵，

∴

∴

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

在和中

∠BAF＝45+，∠MPE＝45+，

∴∠BAF＝∠MPE

∵

∴

∴

∴M的坐標(biāo)為：（4，7），

③如圖5，若△ABP≌△MPB，則，

過點(diǎn)M作M⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵，

∴

∴

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

在和中

∵⊥軸

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴M的坐標(biāo)為：（10，﹣1）．

綜合以上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．