【題目】 如圖,中,
,動點
從
出發(fā),以每秒
個單位長度的速度向終點
運動,過點
作
交
于點
,過點
作
的平行線,與過點
且與
垂直的直線交于點
,設(shè)點
的運動時間為
(秒)
(1)用含的代數(shù)式表示線段
的長;
(2)求當(dāng)點落在
邊上時t的值;
(3)設(shè)與
重合部分圖形的面積為
(平方單位),求
與的
函數(shù)關(guān)系式;
(4)連結(jié),若將
沿它自身的某邊翻折,翻折前后的兩個三角形形成菱形,直接寫出此時
的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
;(4)
或
或
.
【解析】
(1)由題意可得DF⊥AC,EF⊥AB,DE∥AB,然后利用同角的余角相等可得∠DFE=∠A,進(jìn)而證明△ADF∽△FED,推出,然后根據(jù)△ADF∽△ACB,可分別用含t的式子表示出DF、AF,然后可得DE;
(2)當(dāng)點落在
邊上時,易得△ADF∽△DCE,列出比例式求出DC=2t,然后根據(jù)AC=20列方程求出t即可;
(3)當(dāng)時,
,利用三角形面積公式求解即可;當(dāng)
時,
,作EH⊥AC交AC的延長線于點H,EF交BC于N,DE交BC于M,利用平行線分線段成比例定理求出NM,根據(jù)梯形面積公式求解即可;
(4)根據(jù)沿它自身的某邊翻折,翻折前后的兩個三角形形成菱形,可知此時為等腰三角形,然后分情況討論:①當(dāng)DE=CE時,②當(dāng)DC=CE時,③當(dāng)DE=DC時,分別列出方程求t的值即可.
解:(1)由題意可知:DF⊥AC,EF⊥AB,DE∥AB,
∴∠ADF=90°,∠EFA=90°,
∴∠DEF=90°,∠DFA+∠DFE =90°,
∵∠DFA+∠A =90°,
∴∠DFE=∠A,
∵∠DEF=∠ADF=90°,
∴△ADF∽△FED,
∴,
∵∠C=90°,
易得△ADF∽△ACB,
∵AC=20,BC=10,
∴AB=,
∴,
,
又∵AD=10t,
∴DF=5t,AF=,
∴,
∴DE=;
(2)當(dāng)點落在
邊上時,
∵DE∥AB,
∴△ADF∽△DCE,
∴,
由(1)可知:DE=,AF=
,AD=10t,
∴DC=2t,
∴10t+2t=20,
解得:;
(3)∵DE=,
∴EF=2DE=,
∴當(dāng)時,
;
當(dāng)D到達(dá)C點時,t=20÷10=2,
∴當(dāng)時,
,
如圖,作EH⊥AC交AC的延長線于點H,EF交BC于N,DE交BC于M,
同(2)可得DH=2t,
∴CH=10t+2t-20=12t-20,DC=20-10t,
∵BC∥DF,
∴,
∵BC∥EH,
∴,
∴,即
,
∴,
∴,
綜上所述:;
(4)根據(jù)沿它自身的某邊翻折,翻折前后的兩個三角形形成菱形,可知此時為等腰三角形,
①當(dāng)DE=CE時,如圖,作EH⊥DC于點H,
由(3)可得DH=2t,
∴DC=4t,
∴10t+4t=20,
解得:;
②當(dāng)DC=CE時,如圖,作EH⊥AC交AC的延長線于點H,連接CE,
由(3)可知:DE=,DH=2t,CH=12t-20,DC=20-10t,
∴EH=t,
由勾股定理得:(12t-20)2+t2=(20-10t)2,
解得:;
③當(dāng)DE=DC時,
∵DE=,DC=20-10t,
∴,
解得:,
綜上所述,當(dāng)或
或
時,將
沿它自身的某邊翻折,翻折前后的兩個三角形形成菱形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店銷售復(fù)習(xí)資料,已知每本復(fù)習(xí)資料進(jìn)價為40元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):若以每本50元銷售,平均每天可銷售90本,在此基礎(chǔ)上,若售價每提高1元,則平均每天少銷售3本.設(shè)漲價后每本的售價為元,書店平均每天銷售這種復(fù)習(xí)資料的利潤為
元.
(1)漲價后每本復(fù)習(xí)資料的利潤為______元,平均每天可銷售______本;
(2)求與
的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)復(fù)習(xí)資料每本售價為多少時,平均每天的利潤最大?最大利潤為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與
軸交于點
,與
軸交于點
,拋物線
經(jīng)過點
,
.
(1)求點B的坐標(biāo)和拋物線的解析式;
(2)M(m,0)為x軸上一個動點,過點M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N,
①點在線段
上運動,若以
,
,
為頂點的三角形與
相似,求點
的坐標(biāo);
②點在
軸上自由運動,若三個點
,
,
中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外),則稱
,
,
三點為“共諧點”.請直接寫出使得
,
,
三點成為“共諧點”的
的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是甲、乙兩名射擊運動員的10次射擊測試成績的折線統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)折線圖把下列表格補充完整;
運動員 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 8.5 | 9 | |
乙 | 8.5 |
(2)根據(jù)上述圖表運用所學(xué)統(tǒng)計知識對甲、乙兩名運動員的射擊水平進(jìn)行評價并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的邊長為
,頂點
分別在
軸、
軸的正半軸,拋物線
經(jīng)過
兩點,點
為拋物線的頂點,連接
.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)直接寫出四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=6,C為圓周上的一點,BC=3.過C點作⊙O的切線GE,作AD⊥GE于點D,交⊙O于點F.
(1)求證:∠ACG=∠B.
(2)計算線段AF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)圖象過A,B,C三點,點A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點B的坐標(biāo)為(4,0),點C在y軸正半軸上,且AB=OC.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC 中,點 D 為邊 BC 的點,點 E、F 分別是邊 AB、AC 上兩點,且 EF∥BC,若 AE:EB=m,BD:DC=n,則( )
A.若 m>1,n>1,則 2S△AEF>S△ABDB.若 m>1,n<1,則 2S△AEF<S△ABD
C.若 m<1,n<1,則 2S△AEF<S△ABDD.若 m<1,n>1,則 2S△AEF<S△ABD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)對本校初2017屆500名學(xué)生中中考參加體育加試測試情況進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)男生1000米及女生800米測試成績整理,繪制成不完整的統(tǒng)計圖,(圖①,圖②),請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,回答下列問題:
(1)該校畢業(yè)生中男生有 人;扇形統(tǒng)計圖中a= ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,這名學(xué)生該項成績在8分及8分以下的概率是多少?
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