Question

【題目】如圖，△DEF由△ABC平移得到，∠DFE=∠CDF=30°，∠DEF=90°，BE⊥DF于點(diǎn)B．連接CE，AB=3．

（1）求證：四邊形ACDF為矩形

（2）求線段CE的長(zhǎng)和△CEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CE=，S△CEF=

【解析】

（1）先證明四邊形ACFD為平行四邊形，再結(jié)合∠CFD=90°得到結(jié)論；

（2）作EG⊥CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用矩形的性質(zhì)證明四邊形ABED為平行四邊形，從而證明四邊形BEGF為矩形，得到FG=BE，EG=BF，利用三角形面積得到BE，再利用勾股定理得到CG和EG，從而算出CE，最后利用S△CEF=算出結(jié)果.

解:（1）證明：∵△DEF由△ABC平移得到

∴DF∥AC，即四邊形ACFD為平行四邊形

∵CF⊥DF，

∴∠CFD=90°，

∴平行四邊形ACDF為矩形；

（2）如圖所示：作EG⊥CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

∵△DEF由△ABC平移得到，四邊形ACDF為矩形，

∴DE∥AB，

即四邊形ABED為平行四邊形，

∵DF經(jīng)過點(diǎn)B．

∴∠ADF=∠DBE=90°，AD∥BE

同理可得∠CFB=∠FBE=90°，CF∥BE

∵∠CFB+∠EBF=180°，EG⊥CF

∴∠EBF=∠FBE=∠EGF=90°

∴四邊形BEGF為矩形，FG=BE，EG=BF

∵∠DFE=∠CDF=30°，∠DEF=90°

∴DF=2DE=6，

在Rt△DEF中：EF==

∵S△DEF==

∴BE==，

在Rt△BEF中：BF==,

∴CG=CF+FG=2BE=，EG=,

∴在Rt△CEG中：CE=

∴S△CEF==.