Question

如圖，拋物線y=-

1

4

x2+x+3與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，頂點為點D，對稱軸l與直線BC相交于點E，與x軸相交于點F．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設(shè)點P為該拋物線上的一個動點，以點P為圓心，r為半徑作⊙P
①當點P運動到點D時，若⊙P與直線BC相交，求r的取值范圍；
②若r=

4

5

5

，是否存在點P使⊙P與直線BC相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
提示：拋物線y=ax²+bx+x（a≠0）的頂點坐標（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸x=-

b

2a

．

Answer 1

（1）拋物線y=-

1

4

x²+x+3中，
令y=0，得0=-

1

4

x²+x+3，
解得x=-2，x=6；
令x=0，得y=3；
∴A（-2，0），B（6，0），C（0，3）；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：

6k+b=0 b=3

，
解得

k=- 1 2 b=3

∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+3；

（2）由拋物線的解析式知：y=-

1

4

（x-2）²+4，
即D（2，4）；
當x=2時，y=-

1

2

x+3=-1+3=2，
即E（2，2）；
∴EF=DE=2，BF=4；
①過D作DG⊥BC于G，則△DEG∽△BEF；
∴DE：GE=BF：EF=2：1，即DG=2GE；
Rt△DGE中，設(shè)GE=x，則DG=2x，
由勾股定理，得：GE²+DG²=DE²，
即：4x²+x²=4，
解得x=

2 5

5

；
∴DG=2x=

4 5

5

；
故D、P重合時，若⊙P與直線BC相切，則r＞DG，即r≥

4 5

5

；
②存在符合條件的P點，且P點坐標為：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+

17

，

3- 17

2

），P₄（3-

17

，

3+ 17

2

）；
過點F作FM⊥BC于M；
∵DE=EF=2，則Rt△DGE≌Rt△FME；
∴FM=DG=r=

4 5

5

；
分別過D、F作直線m、n平行于直線BC，則直線m與直線BC、直線n與直線BC之間的距離都等于r；
所以P點必為直線m、n與拋物線的交點；
設(shè)直線m的解析式為：y=ax+h，由于直線m與直線BC平行，則a=-

1

2

；
∴-

1

2

×2+h=4，h=5，
即直線m的解析式為y=-

1

2

x+5；
同理可求得直線n的解析式為：y=-

1

2

x+1；
聯(lián)立直線m與拋物線的解析式，
得：

y=- 1 4 x2+x+3 y=- 1 2 x+5

，
解得

x=2 y=4

，

x=4 y=3

；
∴P₁（2，4），P₂（4，3）；
同理，聯(lián)立直線n與拋物線的解析式可求得：P₃（3+

17

，

3- 17

2

），P₄（3-

17

，

3+ 17

2

）；
故存在符合條件的P點，且坐標為：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+

17

，

3- 17

2

），P₄（3-

17

，

3+ 17

2

）．