Question

如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角）
（1）當(dāng)動點P落在第①部分時，試說明∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當(dāng)動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）當(dāng)動點P在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動點P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以說明．

Answer 1

分析：（1）延長AP交BD于M，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）過P作EF∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3））①當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB，②當(dāng)動點P在射線BA上時，結(jié)論是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），③當(dāng)動點P在射線BA的左側(cè)時，結(jié)論是：∠PAC=∠APB+∠PBD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）延長AP交BD于M，如圖1，

∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠AMB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，如圖2，

理由是：過P作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，
∴∠PAC+∠APF+∠PBD+∠BPF=360°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
∴∠APB=360°-∠PAC-∠PBD，
∵∠APB≠180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．

（3）①當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)時，如圖3，結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PMC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
②當(dāng)動點P在射線BA上時，如圖4，結(jié)論是：∠PBD=∠PAC+∠APB（或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°），

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠PBD，
∵∠APB=0°，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB．
③當(dāng)動點P在射線BA的左側(cè)時，如圖5，結(jié)論是：∠PAC=∠APB+∠PBD，

理由是：∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD，
∵∠PAC=∠APB+∠PMC，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，用了分類討論思想．