Question

3．如圖，在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接BF．
（1）試找出圖中與△DEC相似的三角形，并選一個(gè)進(jìn)行證明．
（2）當(dāng)點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)時(shí)，求BC邊的長及sin∠FBD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定；
（2）根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設(shè)EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC．

解答 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．
所以△DEC相似的三角形是△FED，△FDC，△DCB，△CEB，△BAD；
（2）∵F為AD的中點(diǎn)，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=$\frac{1}{3}$；
設(shè)EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{FC}$，即可得：6x²=4，
解得：x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則CF=$\sqrt{6}$，
在Rt△CFD中，DF=$\sqrt{F{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=2DF=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例．