Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若E，F是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C兩點(diǎn)以相同的速度向C、A運(yùn)動(dòng)，其速度為1cm／s．

（1）當(dāng)E與F不重合時(shí)，四邊形DEBF是平行四邊形嗎?說明理由；

（2）若BD=8cm，AC=12cm，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?

Answer 1

【答案】（1）四邊形DEBF是平行四邊形，見解析；（2）t=2或10，以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

【解析】

（1）判斷四邊形DEBF是否為平行四邊形，需證明其對(duì)角線是否互相平分；已知了四邊形ABCD是平行四邊形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可證得BD、EF互相平分，即四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）若以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則必有BD=EF，可據(jù)此求出時(shí)間t的值．注意分點(diǎn)E在線段OA上和在線段OC上分類討論.

解:（1）∵點(diǎn)E、F的速度均為1cm/s

∴AE=FC

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AO=OC，DO=BO

∴EO=FO

∴四邊形DEBF是平行四邊形

（2）∵四邊形DEBF是平行四邊形，
∴當(dāng)BD=EF時(shí)，四邊形DEBF是矩形；
∵BD=8cm，
∴EF=8cm；
∴OE=OF=4cm；
∵AC=12cm；
∴OA=OC=6cm；

當(dāng)E(或F)在線段OA(或OC)上時(shí)，AE=2cm

當(dāng)E(或F)在線段OC(或OA)上時(shí)，AE=10cm；
由于動(dòng)點(diǎn)的速度都是1cm/s，
所以t=2（s）或t=10（s）；
故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2s或10s時(shí)，以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．