Question

【題目】邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向移動(dòng)，連接AQ、CP，直線AQ、CP相交于點(diǎn)D．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在邊AB、BC上時(shí)，

①連接PQ，當(dāng)△BPQ是直角三角形時(shí)，AP等于_____；

②∠CDQ的大小是否隨P，Q的運(yùn)動(dòng)而變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出∠CDQ的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)P、Q分別在邊AB、BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，在圖②中畫出點(diǎn)D，并直接寫出∠CDQ的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）①2或4；②60°；（2）120°.

【解析】分析：

（1）①如圖3，由題意可知∠B=60°，然后分∠PQB=90°和∠QPB=90°兩種情況結(jié)合已知條件進(jìn)行解答即可；②由已知條件易證△ABQ≌△CAP，由此可得∠BAQ=∠ACP，從而可得∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°，由此可得∠CDQ的大小不隨點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)而改變；

（2）如圖4，由題意易證△ABQ≌△CAP，從而可得∠Q=∠P，結(jié)合∠P+∠BCP=60°可得∠Q+∠DCQ=60°，從而可得此時(shí)∠CDQ=120°．

詳解：

（1）如圖3，連接PQ，

①∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

由題意得，AP=BQ，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，BQ=BP，即AP=（6﹣AP）

解得，AP=2，

當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，BQ=2BP，即AP=2（6﹣AP）

解得，AP=4，

綜上所述，當(dāng)AP=2或4時(shí)，△BPQ是直角三角形，

故答案為：2或4；

②∠CDQ的大小不變

∵P、Q用時(shí)出發(fā)，速度相同，所以AP=BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，

在△ABQ和△CAP中，

BA=AC，∠B=∠APC，BQ=AP，

∴△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；

（2）如圖4，∠CDQ=120°，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，

在△ABQ和△CAP中，

BA=AC，∠ABQ=∠CAP，BQ=AP，

∴△ABQ≌△CAP，

∴∠Q=∠P，

∵∠P+∠BCP=60°，

∴∠Q+∠DCQ=60°，

∴∠CDQ=120°．